Теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело. Несмотря на все свое разнообразие, приведенные системы обладают рядом типичных свойств, а именно.

• СМО (системы массового обслуживания) - это модели систем , в которые в случайные моменты времени извне или изнутри поступают заявки (требования). Они должны тем или иным образом быть обслужены системой. Длительность обслуживания чаще всего случайна.
• СМО представляет собой совокупность обслуживающего оборудования и персонала при соответствующей организации процесса обслуживания.
• Задать СМО – это значит задать ее структуру и статистические характеристики последовательности поступления заявок и последовательности их обслуживания.

Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы:

• показатели, характеризующие систему в целом: число n занятых каналов обслуживания, число обслуженных (λ b ), ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок (λ c ) в единицу времени и т.д.;
• вероятностные характеристики : вероятность того, что заявка будет обслужена (P обс) или получит отказ в обслуживании (P отк), что все приборы свободны (p 0) или определенное число их занято (p k ), вероятность наличия очереди и т.д.;
• экономические показатели : стоимость потерь, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д.

Часть технических показателей (первые две группы) характеризуют систему с точки зрения потребителей , другая часть – характеризует систему с точки зрения её эксплуатационных свойств . Часто выбор перечисленных показателей, может улучшать эксплуатационные свойства системы, но ухудшать систему с точки зрения потребителей и наоборот. Использование экономических показателей позволяет разрешить указанное противоречие и оптимизировать систему с учетом обеих точек зрения.
В ходе выполнения домашней контрольной работы изучаются простейшие СМО. Это системы разомкнутого типа, бесконечный источник заявок в систему не входит. Входной поток заявок, потоки обслуживания и ожидания этих систем являются простейшими. Приоритеты отсутствуют. Системы однофазные.

Многоканальная система с отказами

Система состоит из одного узла обслуживания, содержащего n каналов обслуживания, каждый из которых может обслуживать только одну заявку.
Все каналы обслуживания одинаковой производительности и для модели системы неразличимы. Если заявка поступила в систему и застала хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка покидает систему не обслуженной.

Смешанные системы

1. Система с ограничением на длину очереди .
   Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. Заявка покидает очередь и уходит из системы, если в накопителе к моменту ее появления уже находятся m заявок (m – максимально возможноечисло мест в очереди). Если заявка поступила в систему и застала, хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка не покидает систему, а занимает место в очереди. Заявка покидает систему не обслуженной, если к моменту её поступления в систему заняты все каналы обслуживания и все места в очереди.
   Для каждой системы определяется дисциплина очереди. Это система правил, определяющих порядок поступления заявок из очереди в узел обслуживания. Если все заявки и каналы обслуживания равнозначны, то чаще всего действует правило «кто раньше пришел, тот раньше обслуживается».
2. Система с ограничением на длительность пребывания заявки в очереди .
   Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. От предыдущей системы она отличается тем, что заявка, поступившая в накопитель (очередь), может ожидать начала обслуживания лишь ограниченное время Т ож (чаще всего это случайная величина). Если её время Т ож истекло, то заявка покидает очередь и уходит из системы не обслуженной.

Математическое описание СМО

СМО рассматриваются как некоторые физические системы с дискретными состояниями х 0 , х 1 , …, х n , функционирующие при непрерывном времени t . Число состояний n может быть конечным или счетным (n → ∞). Система может переходить из одного состояния х i (i= 1, 2, … , n) в другое х j (j= 0, 1, … ,n) в произвольный момент времени t . Чтобы показать правила таких переходов, используют схему, называемую графом состояний . Для типов перечисленных выше систем графы состояний образуют цепь, в которой каждое состояние (кроме крайних) связано прямой и обратной связью с двумя соседними состояниями. Это схема гибели и размножения.
Переходы из состояния в состояние происходят в случайные моменты времени. Удобно считать, что эти переходы происходят в результате действия каких-то потоков (потоков входных заявок, отказов в обслуживании заявок, потока восстановления приборов и т.д.). Если все потоки простейшие, то протекающий в системе случайный процесс с дискретным состоянием и непрерывным временем будет марковским.
Поток событий - это последовательность однотипных событий, протекающих в случайные моменты времени. Его можно рассматривать как последовательность случайных моментов времени t 1 , t 2 , … появления событий.
Простейшим называют поток, обладающий следующими свойствами:

• Ординарность . События следуют по одиночке (противоположность потоку, где события следуют группами).
• Стационарность . Вероятность попадания заданного числа событий на интервал времени Т зависит только от длины интервала и не зависит от того, где на оси времени находиться этот интервал.
• Отсутствие последействия . Для двух непересекающихся интервалов времени τ 1 и τ 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой интервал.

В простейшем потоке интервалы времени Т 1 , Т 2 ,… между моментами t 1 , t 2 , … появления событий случайны, независимы между собой и имеют показательное распределение вероятностей f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, где λ - параметр показательного распределения, являющийся одновременно интенсивностью потока и представляющий собой среднее число событий, происходящих в единицу времени. Таким образом, t =M[T]=1/λ.
Марковские случайные события описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями . Переменными в них служат вероятности состояний р 0 (t), p 1 (t),…,p n (t) .
Для очень больших моментов времени функционирования систем (теоретически при t → ∞) в простейших системах (системы, все потоки в которых – простейшие, а граф – схема гибели и размножения) наблюдается установившийся, или стационарный режим работы. В этом режиме система будет изменять свое состояние, но вероятности этих состояний (финальные вероятности ) р к , к= 1, 2 ,…, n, не зависят от времени и могут рассматриваться как среднее относительное время пребывания системы в соответствующем состоянии.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Введение

Теория массового обслуживания является важным разделом системного анализа и исследования операций. Она богата разнообразными приложениями: от задач. связанных с эксплуатацией телефонных сетей, до научной организации производства. Эта теория используется там, где имеются вызовы и клиенты, сигналы и изделия массового производства, а также там, где изделия обслуживаются, обрабатываются, передаются.

Идеи и методы теории массового обслуживания (ТМО) получают всё большее распространение. Многие задачи техники, экономики, военного дела, естествознания могут быть поставлены и решены в терминах ТМО.

Своим возникновением ТМО обязана, в первую очередь, прикладным вопросам телефонии, в которых из-за большого числа независимых или слабо зависимых источников (абонентов телефонных станций) потоки заявок (вызовов) имеют четко выраженный случайный характер. Случайные колебания (флуктуации) около некоторого среднего являются в данном случае не результатом какого-то отклонения от нормы, а закономерностью, свойственной всему процессу. С другой стороны, стабильность работы телефонных станций, возможность получения хороших статистических данных создали предпосылки для выявления основных характеристик, свойственных данному процессу обслуживания.

Впервые на это обратил внимание и провёл исследования датчанин А.К. Эрланг. Основные его работы в данной области относятся к 1908 - 1921 годам. С этого времени, интерес к проблемам, выдвинутым Эрлангом, необычайно возрос. В 1927 - 1928 годах появляются работы Молина и Фрайя, позже в 1930 - 1932 годах - интересные работы Поллачека, А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина.

Нужно сказать, что первые задачи ТМО были достаточно простыми и допускали получение окончательных аналитических зависимостей. О, развитие шло как по линии увеличения сферы приложения ТМО, так и по линии усложнения стоящих перед ней задач. Оказалось, что задачи типа телефонных, возникают в самых разнообразных направлениях исследований: в естествознании. в технике, на транспорте, в военном деле, в организации производства и т.д.

23. Системы массового обслуживания

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропор­тах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и обо­рудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

23.1. Понятие смо

В теории систем массового обслуживания (СМО) обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называютсяобслуживающими устройствами иликаналами обслуживания . Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, би­летные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Совокупность однотипных обслуживающих устройств называется системой массового обслуживания . Такими системами могут быть телефонные стан­ции, аэродромы, билетные кассы, ремонтные мастерские, склады и базы снабженческо-сбытовых организаций и т.д.

Основной задачей теории СМО является изучение режима функциони­рования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслужи­вающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время без­действия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, в теории СМО возникают задачи оптимизации: каким образом достичь оп­ределенного уровня обслуживания (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с просто­ем обслуживающих устройств.

Источник. Источник определяется как устройство или множество, из которого требования поступают в систему для обслуживания. Источник называют бесконечным или конечным в зависимости от того, бесконечное или конечное число требований содержится в нем. Будем всегда предполагать, что источник, генерирующий требования, неисчерпаем. Например, хотя абонентов некоторого телефонного узла конечное число, предполагаем, что они образують бесконечный источник.

Входящий поток. Требования, поступающие из источника на обслуживание, образуют входящий поток. Само требование можно рассматривать как запрос на удовлетворение какой-то потребности. Примеров входящих потоков можно привести множество. Это - поток информации, поступающей на обработку в ЭВМ; поток заявок на АТС; поток клиентов, приходящих в ателье, и больных в поликлинику, поток прибывающих в порт судов; налетающие на объект удара самолеты и ракеты противника и т. д.

Обслуживающая система. Под обслуживающей системой понимают множество технических средств или производственного персонала (различного рода установки, приборы, устройства, тоннели, взлетно-посадочные полосы, линии связи, продавцы, бригады рабочих или служащих, кассиры и т. д.), выполняющих функции обслуживания. Все перечисленное выше, как уже говорилось, объединяется одним названием «канал обслуживания» (обслуживающий прибор). Состав системы определяется количеством каналов (приборов, линий). По количеству каналов системы можно подразделить на одноканальные и многоканальные.

Выходящий поток. Выходящий поток - это поток требований, покидающих систему после обслуживания. Сюда могут входить и требования, которые покинули систему, не пройдя обслуживания.

Входящий поток, функционирование обслуживающей системы как результат обслуживания, выходящий поток подлежат количественному описанию. Для того чтобы проводить математические исследование процесса массового обслуживания, необходимо полно определить систему обслуживания. Обычно это означает:

- задание входящего потока. Здесь имеются в виду как средняя интенсивность поступления требований, так и статистическая модель их поступления (т. е. закон распределения моментов поступления требований в систему);

- задание механизма обслуживания. Это означает указание того, когда обслуживание допустимо, сколько требований может обслуживаться одновременно и как долго длится обслуживание. Последнее свойство обычно характеризуют статистическим распределением длительности обслуживания (закон распределения времени обслуживания);

- задание дисциплины обслуживания. Это означает указание способа, по которому происходит отбор одного требования из очереди (если она есть) на обслуживание. В простейшем варианте дисциплина обслуживания заключается в обслуживании требований в порядке их поступления (справедливый принцип), однако существует и много других возможностей.

Задание системы предполагает также известное описание взаимодействия между отдельными ее частями.

Когда система достаточно полно определена, появляется основание для построения математической модели. Если математическая модель более или менее адекватно отображает реальную систему, то она позволяет получить основные характеристики функционирования системы. Разумеется, модель значительно упрощает практическую ситуацию, но это не умаляет математических методов теории массового обслуживания и положение дел не отличается от положения дел в других областях прикладной математики.

Виды систем массового обслуживания

В зависимости от того, как поступают с заявкой в случае, если все каналы оказались занятыми, различают:

СМО с отказом в обслуживании заявки и СМО с ожиданием.

Для СМО с отказом характерно, что заявка, заставшая все каналы занятыми, немедленно покидает систему.

В СМО с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а ставится в очередь и при освобождении одного из каналов обслуживается. В СМО с ожиданием на процесс ожидания заявок в очереди могут накладываться или не накладываться какие-либо ограничения. В последнем случае говорят, что имеют дело с "чистой" СМО с ожиданием. Если же на процесс ожидания накладываются ограничения, то СМО называют "системой смешанного типа". В таких системах из-за наложенных ограничений возможны случаи, когда заявка получит отказ в обслуживании, т.е. СМО смешанного типа проявляет также признаки СМО с отказом.

В системах смешанного типа могут накладываться следующие ограничения:

а) на количество заявок, стоящих в очереди;

б) на время пребывания заявки в очереди;

в) на общее время нахождения заявки в СМО.

В технологии РЭУ чаще всего встречаются СМО смешанного типа.

Математическое описание СМО с отказом

Рассмотрим систему массового обслуживания с отказом, имеющую п каналов. Предположим, что поток заявок, поступающих в СМО, простейший и имеет плотность l. Кроме того, будем считать, что время обслуживания заявок распределено по экспоненциальному закону с параметром

где М(Тоб) - математическое ожидание времени обслуживания заявки.

Следовательно, плотность распределения времени обслуживания

Для рассматриваемой системы возможны следующие состояния:

x 0 - свободны все каналы;

x 1 - занят один канал;

x k -- занято k каналов;

x n -- заняты все п каналов.

Данные состояния системы обслуживания могут быть описаны дифференциальными уравнениями Эрланга. их решение позволяет получить формулы для расчета вероятностей, которые для установившегося режима постоянны. Такой режим наступает при времени t® ¥ .

Коэффициент определяют как

где М(Тоб) - математическое ожидание времени обслуживания одной заявки.

Формулы Эрланга получены для случая экспоненциального распределения времени обслуживания, но справедливы и при любом другом законе, лишь бы поток заявок был простейшим.

Вероятность необслуживания заявки определяется как

q

Среднюю долю времени, которое система обслуживания будет простаивать, можно определить вероятностью состояния x 0 , т.е.

Р простоя = р(х 0) = р 0

Пример. Пусть на участок ремонта технологического оборудования поступают приборы со средней плотностью l = 2 ед/ч. Среднее время обслуживания одной единицы оборудования равно 24 мин (0,4 ч.). Заявка, заставшая все каналы занятыми получает отказ в обслуживании.

Требуется определить характеристики СМО в предположении наличия одного рабочего места. Кроме того, требуется установить, как меняются характеристики СМО при введении второго рабочего места.

Решение. По условию задачи имеем СМО с отказом. Будем предполагать, что поток заявок, поступающих в СМО, простейший со средней плотностью l.

1. Подсчитаем коэффициент загрузки канала или приведенную плотность заявок

2. Найдем характеристики СМО при числе каналов n= 1. Вероятность необслуживания заявок:

Относительная пропускная способность q определится, как

q=1- Р необ = 1 – 0,44 = 0,56.

Следовательно, примерно 56% заявок, поступивших в СМО, будут обслужены.

Вероятность простоя канала р 0

Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО).

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• расчетно-кассовые узлы в банках, на предприятиях;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей; АЗС;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.

	Узлы	Требования
Больница	Санитары	Пациенты
Производство
Аэропорт	Выходы на взлетно-посадочные полосы Пункты регистрации	Пассажиры

Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания.

Рис. 1

1. Генератор заявок – объект, порождающий заявки: улица, цех с установленными агрегатами. На вход поступает поток заявок (поток покупателей в магазин, поток сломавшихся агрегатов (машин, станков) на ремонт, поток посетителей в гардероб, поток машин на АЗС и т. д.).
2. Диспетчер – человек или устройство, которое знает, что делать с заявкой. Узел, регулирующий и направляющий заявки к каналам обслуживания. Диспетчер:

• принимает заявки;
• формирует очередь, если все каналы заняты;
• направляет их к каналам обслуживания, если есть свободные;
• дает заявкам отказ (по различным причинам);
• принимает информацию от узла обслуживания о свободных каналах;
• следит за временем работы системы.

1. Очередь – накопитель заявок. Очередь может отсутствовать.
2. Узел обслуживания состоит из конечного числа каналов обслуживания. Каждый канал имеет 3 состояния: свободен, занят, не работает. Если все каналы заняты, то можно придумать стратегию, кому передавать заявку.
3. Отказ от обслуживания наступает, если все каналы заняты (некоторые в том числе могут не работать).

Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие:

терминатор – уничтожитель трансактов;

склад – накопитель ресурсов и готовой продукции;

счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»;

менеджер – распорядитель ресурсов;

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

• СМО с отказами;
• СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

• одноканальные;
• многоканальные.

Характеристики системы массового обслуживания

Основными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

Входной поток требований

Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины;

E(A) – среднее (МО) время поступления;

λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований;

Характеристики входного потока:

1. Вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание.
2. Количество требований в каждом очередном поступлении для групповых потоков.

Дисциплина очереди

Очередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания.

Очередь имеет имя.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• первым пришел – первый обслуживаешься;

first in first out (FIFO)

самый распространенный тип очереди.

Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК.

Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания.

Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние.

Действия со списком:

• вставить в хвост;
• взять из начала;
• удалить из списка по истечении времени ожидания.
• пришел последним - обслуживаешься первым LIFO (обойма для патронов, тупик на железнодорожной станции, зашел в набитый вагон).

Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;

• случайный отбор заявок;
• отбор заявок по критерию приоритетности.

Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету.

Характеристики очереди

• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»);
• длина очереди.

Механизм обслуживания

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:

• количество каналов обслуживания (N );
• продолжительность процедуры обслуживания (вероятностное распределение времени обслуживания требований);
• количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры (для групповых заявок);
• вероятность выхода из строя обслуживающего канала;
• структура обслуживающей системы.

Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

S i – время обслуживания i -го требования;

E(S) – среднее время обслуживания;

μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований.

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками.

Коэффициент использования СМО

N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания.

ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы.

Структура обслуживающей системы

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани .

Пример. Кассы в магазине.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Пример. Медицинская комиссия.

Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира.

Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• мощностью источника требований;
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди.

Основные критерии эффективности функционирования СМО

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки (Р обсл =К обс /К пост);
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки (P отк =К отк /К пост);

Очевидно, что Р обсл + P отк =1.

Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–Хинчина

Задержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания.

D i – задержка в очереди требования i ;

W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i .

(с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting).

Q(t) – число требований в очереди в момент времени t;

L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t.

Тогда показатели (если существуют)

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди;

(с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе.

Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания.

Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L.

К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения

Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным.

Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:

• абсолютная пропускная способность системы – А=Р обсл *λ;
• относительная пропускная способность системы –

Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле:

.

В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross).

Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.