Как доказать что линии параллельны. Параллельные прямые

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Параллельные прямые – основные сведения.

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Определение.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать а b .

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b , а также, что прямая b параллельна прямой a .

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Параллельность прямых - признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых . В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы . Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7 -9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Теорема.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Теорема.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к (направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых) или к (направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой). Таким образом, если и - направляющие векторы прямых a и b , а и - нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как , или , или , где t - некоторое действительное число. В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида , а прямую b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как .

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямой b - , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности этих прямых примет вид . Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны. И обратно: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат могут быть заданы уравнениями прямой с равными угловыми коэффициентами, то такие прямые параллельны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида и , или параметрические уравнения прямой на плоскости вида и соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности прямых a и b записывается как .

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Параллельны ли прямые и ?

Решение.

Перепишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения прямой: . Теперь видно, что - нормальный вектор прямой , а - нормальный вектор прямой . Эти векторы не коллинеарны, так как не существует такого действительного числа t , для которого верно равенство (). Следовательно, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, поэтому, заданные прямые не параллельны.

Ответ:

Нет, прямые не параллельны.

Пример.

Являются ли прямые и параллельными?

Решение.

Приведем каноническое уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом: . Очевидно, что уравнения прямых и не одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

На плоскости прямые называются параллельными, если у них нет общих точек, то есть они не пересекаются. Для обозначения параллельности используют специальный значок || (параллельные прямые a || b).

Для прямых, лежащих в пространстве, требования отсутствия общих точек недостаточно - чтобы они в пространстве были параллельными, они должны принадлежать одной плоскости (иначе они будут скрещивающимися).

За примерами параллельных прямых далеко идти не надо, они сопровождают нас повсюду, в комнате - это линии пересечения стены с потолком и полом, на тетрадном листе - противоположные края и т.д.

Совершенно очевидно, что, имея параллельность двух прямых и третью прямую, параллельную одной из первых двух, она будет параллельна и второй.

Параллельные прямые на плоскости связаны утверждением, которое не доказывается с помощью аксиом планиметрии. Его принимают как факт, в качестве аксиомы: для любой точки на плоскости, не лежащей на прямой, существует единственная прямая, которая проходит через нее параллельно данной. Эту аксиому знает каждый шестиклассник.

Ее пространственное обобщение, то есть утверждение, что для любой точки в пространстве, не лежащей на прямой, существует единственная прямая, которая проходит через нее параллельно данной, легко доказывается с помощью уже известной нам аксиомы параллельности на плоскости.

Свойства параллельных прямых

Если любая из параллельных двух прямых параллельна третьей, то они взаимно параллельны.

Этим свойством обладают параллельные прямые и на плоскости, и в пространстве.
В качестве примера рассмотрим его обоснование в стереометрии.

Допустим параллельность прямых b и с прямой a.

Случай, когда все прямые лежат в одной и той же плоскости оставим планиметрии.

Предположим, a и b принадлежат плоскости бетта, а гамма - плоскость, которой принадлежат a и с (по определению параллельности в пространстве прямые должны принадлежать одной плоскости).

Если допустить, что плоскости бетта и гамма различные и отметить на прямой b из плоскости бетта некую точку B, то плоскость, проведенная через точку B и прямую с должна пересечь плоскость бетта по прямой (обозначим ее b1).

Если бы полученная прямая b1 пересекала плоскость гамма, то, с одной стороны, точка пересечения должна была бы лежать на a, поскольку b1 принадлежит плоскости бетта, а с другой, она должна принадлежать и с, поскольку b1 принадлежит третьей плоскости.
Но ведь параллельные прямые a и с пересекаться не должны.

Таким образом, прямая b1 должна принадлежать плоскости бетта и при этом не иметь общих точек с a, следовательно, согласно аксиоме параллельности, она совпадает с b.
Мы получили совпадающую с прямой b прямую b1, которая принадлежит одной и той же плоскости с прямой с и при этом ее не пересекает, то есть b и с - параллельны

Через точку, которая не лежит на заданной прямой, параллельная данной может проходить лишь одна единственная прямая.

Лежащие на плоскости перпендикулярно третьей две прямые параллельны.

При условии пересечения плоскости одной из параллельных двух прямых, эту же плоскость пересекает и вторая прямая.

Соответствующие и накрест лежащие внутренние углы, образованные пересечением параллельных двух прямых третьей, равны, сумма у образовавшихся при этом внутренних односторонних равна 180°.

Верны и обратные утверждения, которые можно принять за признаки параллельности двух прямых.

Условие параллельности прямых

Сформулированные выше свойства и признаки представляют собой условия параллельности прямых, и их вполне можно доказать методами геометрии. Иначе говоря, для доказательства параллельности двух имеющихся прямых достаточно доказать их параллельность третьей прямой либо равенство углов, будь то соответствующих или накрест лежащих, и т.п.

Для доказательства в основном используют метод «от противного», то есть с допущения, что прямые непараллельны. Исходя из этого допущения, легко можно показать, что в этом случае нарушаются заданные условия, например, накрест лежащие внутренние углы оказываются неравными, что и доказывает некорректность сделанного допущения.

Параллельность двух прямых можно доказать на основе теоремы, согласно которой, два проведенных перпендикуляра по отношению к одной прямой, будут параллельны. Существуют определенные признаки параллельности прямых – всего их три, и все их мы рассмотрим более конкретно.

Первый признак параллельности

Прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой, образуемые внутренние углы, лежащие накрест, будут равны.

Допустим, при пересечении прямых АВ и СD прямой линией ЕF, были образованы углы /1 и /2. Они равны, так как прямая линия ЕF проходит под одним уклоном по отношению к двум остальным прямым. В местах пересечения линий, ставим точки Ки L – у нас получился отрезок секущей ЕF. Находим его середину и ставим точку О (черт. 189).

На прямую АВ опускаем перпендикуляр из точки О. Назовем его ОМ. Продолжаем перпендикуляр до тех пор, пока он не пересечется с прямой СD. В результате, первоначальная прямая АВ строго перпендикулярна МN, а это значит, что и СD_|_МN, но это утверждение требует доказательства. В результате проведения перпендикуляра и линии пересечения, у нас образовалось два треугольника. Один из них – МОЕ, второй – NОК. Рассмотрим их более подробно. признаки параллельности прямых 7 класс

Данные треугольники равны, поскольку, в соответствии с условиями теоремы, /1 =/2, а в соответствии с построением треугольников, сторона ОK = стороне ОL. Угол МОL =/NОК, поскольку это вертикальные углы. Из этого следует, что сторона и два угла, прилежащие к ней одного из треугольников соответственно равны стороне и двум углам, прилежащим к ней, другого из треугольников. Таким образом, треугольник МОL =треугольникуNОК, а значит, и угол LМО = углу КNО, но нам известно, что/LМО прямой, значит, и соответствующий ему, угол КNО тоже прямой. То есть, нам удалось доказать, что к прямой МN, как прямая АВ, так и прямая СD перпендикулярны. То есть, АВ и СD по отношению друг к другу являются параллельными. Это нам и требовалось доказать. Рассмотрим остальные признаки параллельности прямых (7 класс), которые отличаются от первого признака по способу доказательства.

Второй признак параллельности

Согласно второму признаку параллельности прямых, нам необходимо доказать, что углы, полученные в процессе пересечения параллельных прямых АВ и СD прямой ЕF, будут равны. Таким образом, признаки параллельности двух прямых, как первый, так и второй, основывается на равности углов, получаемых при пересечении их третьей линией. Допускаем, что /3 = /2, а угол 1 = /3, поскольку он вертикален ему. Таким образом, и /2 будет равен углу1, однако следует учитывать, что как угол 1, так и угол 2 являются внутренними, накрест лежащими углами. Следовательно, нам остается применить свои знания, а именно то, что два отрезка будут параллельными, если при их пересечении третьей прямой образованные, накрест лежащие углы будут равными. Таким образом, мы выяснили, что АВ || СD.

Нам удалось доказать, что при условии параллельности двух перпендикуляров к одной прямой, согласно соответствующей теореме, признак параллельности прямых очевиден.

Третий признак параллельности

Существует еще и третий признак параллельности, который доказывается посредством суммы односторонних внутренних углов. Такое доказательство признака параллельности прямых позволяет сделать вывод, что две прямые будут параллельны, если при пересечении их третье прямой, сумма полученных односторонних внутренних углов, будет равна 2d. См. рисунок 192.

Параллельные прямые. Свойства и признаки параллельных прямых

1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°.

5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.

6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.

7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема Фалеса . Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.

Теорема о пропорциональных отрезках . Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.

Треугольник. Признаки равенства треугольников .

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. По двум катетам.

2. По катету и гипотенузе.

3. По гипотенузе и острому углу.

4. По катету и острому углу.

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна

4. Сумма внешних углов га-угольника равна 360°.

5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.

7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки - медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным.

Неравенство треугольника и следствия из него

1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало

первого звена с концом последнего.

3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то

1) перпендикуляр короче наклонных;

2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Средняя линия треугольника.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Теорема о средней линии треугольника .

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.

Теоремы о медианах треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Теорема о высотах треугольника . Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисах треугольника . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Свойство биссектрисы треугольника . Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

Площади подобных треугольников

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

В прямоугольном треугольнике

1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.

2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

5. R = ; г = , где а, b - катеты, а с - гипотенуза прямоугольного треугольника; г и R - радиусы вписанной и описанной окружности соответственно.

Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора

1. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник - прямоугольный.

Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

Метрические соотношения в треугольнике

1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

3. Формула для медианы треугольника. Если m - медиана треугольника, проведенная к стороне с, то m = , где а и b - остальные стороны треугольника.

4. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

5. Обобщённая теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

Формулы площади треугольника

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности.

5. Формула Герона: S=, где p - полупериметр; а, b, с - стороны треугольника.

Элементы равностороннего треугольника . Пусть h, S, r, R - высота, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной а. Тогда
Четырёхугольники

Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства и признаки параллелограмма .

1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Свойство середин сторон четырёхугольника . Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.

Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.

Свойства и признаки прямоугольника.

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

Ромб. Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны.

Свойства и признаки ромба.

1. Диагонали ромба перпендикулярны.

2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб.

4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб.

Трапеция. Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Замечательное свойство трапеции . Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Равнобедренная трапеция . Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции.

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали - полусумме оснований.

Формулы площади четырёхугольника

1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.

3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

7. Формула Герона для четырёхугольника, около которого можно описать окружность:

S = , где а, b, с, d - стороны этого четырёхугольника, p - полупериметр, а S - площадь.

Подобные фигуры

1. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.

2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Правильный многоугольник .

Пусть а n - сторона правильного n-угольника, а г n и R n - радиусы вписанной и описанной окружностей. Тогда

Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.

Основные свойства окружности

1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

5. Хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния, равны.

6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

7. Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.

8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Касательная к окружности . Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая а - касательная к окружности.

3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то MA = MB и ﮮАМО = ﮮВМО, где точка О - центр окружности.

4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Касающиеся окружности . Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).

1. Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2. Окружности радиусов г и R с центрами О 1 и О 2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + г = O 1 O 2 .

3. Окружности радиусов г и R (г

4. Окружности с центрами О 1 и O 2 касаются внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. Тогда ﮮАК В = 90° и ﮮО 1 СО 2 = 90°.

5. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов г и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними. Оба эти отрезка равны .

Углы, связанные с окружностью

1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.

2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

6. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой величины дуги, высекаемой на окружности этой хордой.

Свойства хорд окружности

1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ ЕВ = СЕ ED.

Вписанные и описанные окружности

1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, - середина гипотенузы.

3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.

5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.

Теорема о касательной и секущей и следствие из неё

1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

Длина окружности радиуса R равна C= 2πR